Question

在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，若PD=DA，M是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PA∥平面BDM；
（Ⅱ）求二面角B-DM-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)AC，交BD于O，連結(jié)MO，利用三角形的中位線推導(dǎo)出MO∥AP，由此能證明PA∥平面BDM．
（Ⅱ）以D原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-DM-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)AC，交BD于O，連結(jié)MO，
∵底面ABCD是正方形，M是PC的中點(diǎn)，
∴O是AC的中點(diǎn)，
∴MO是△APC的中位線，∴MO∥AP，
∵PA不包含于平面BDM，MO?平面BDM，
∴PA∥平面BDM．
（Ⅱ）解：以D原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PD=DA=2，∵側(cè)棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，M是PC的中點(diǎn)，
∴D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），M（0，1，1），
∴

DB

=(2，2，0)，

DM

=(0，1，1)，

DC

=（0，2，0），
設(shè)平面BDM的法向量

n

=(x，y，z)，則

n

•

DB

=0，

n

•

DM

=0，
∴

2x+2y=0 y+z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，1），
設(shè)平面DMC的法向量

m

=(x1，y1，z1)，則

m

•

DM

=0，

m

•

DC

=0，
∴

y1+z1=0 2y1=0

，∴

m

=（1，0，0），
設(shè)二面角B-DM-C的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

1

3

|=

3

3

．
∴二面角B-DM-C的余弦值是

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．