Question

如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD與DBFE均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（Ⅰ）求證：FC∥平面EAD；
（Ⅱ）求直線FA與平面FBC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出BC∥平面ADE，BF∥∥平面ADE，由此證明平面ADE∥平面BCF，從而得到FC∥平面EAD．
（Ⅱ）連接AC，設(shè)AC∩BD=O，連接FO，由OA，OB，OF兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出直線FA與平面FBC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴BC∥AD，
∵AD?平面ADE，BC不包含于平面ADE，
∴BC∥平面ADE，…（2分）
同理BF∥∥平面ADE，…（3分）
∵BC∩BF=B，
∴平面ADE∥平面BCF，…（4分）
∵FC?平面BCF，∴FC∥平面EAD．…（5分）
（Ⅱ）連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
設(shè)AC∩BD=O，連接FO，
∵FA=FC，O為AC中點(diǎn)，∴FO⊥AC，
∵四邊形BDEF是菱形，且∠DBF=60°，
∴△DBF為等邊三角形
∵O為BD中點(diǎn)，∴FO⊥BD，
∴FO⊥平面ABCD，…（6分）
∴OA，OB，OF兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，…（7分）
設(shè)AB=2，∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴BD=2，
∴OB=1，OA=OF=

3

，
∴O（0，0，0），A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），
F（0，0，

3

），D（0，-1，0），
∴

CB

=（

3

，1，0），

BF

=（0，-1，

3

），
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面FBC的法向量，
則有

n • CB = 3 x+y=0 n • BF =-y+ 3 z=0

，
取y=-

3

，得

n

=(1，-

3

，-1)．…（9分）
又∵

FA

=（

3

，0-

3

），設(shè)直線FA與平面FBC所成的角為θ，
∴sinθ=|cos＜

FA

，

n

＞|=

3 + 3

5 • 6

=

10

5

．
∴直線FA與平面FBC所成角的正弦值為

10

5

．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．