Question

已知各項全不為零的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=

1

2

a_na_n+1（n∈N⁺），其中a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）試求所有的正整數(shù)m，使得

am+1am+2

am

為數(shù)列{S_n}中的項．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求出數(shù)列的通項公式，判斷

am+1am+2

am

和{S_n}的關(guān)系，即可．

解答： 解：（1）∵S_n=

1

2

a_na_n+1（n∈N⁺），
∴當n=1時，a₁=

1

2

a₁a₂（n∈N⁺），
∴a₂=2，
當n≥2時，S_n-S_n-1=

1

2

a_na_n+1-

1

2

a_n-1a_n=a_n，
∵a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=2，n≥2，
令n=2m-1，m∈N^•，
得a_2m-1=1+2（m-1）=2m-1，
令n=2m，
得a_2m=2+2（m-1）=2m，
故a_n=n
（2）∵a_n=n，
∴S_n=

n(n+1)

2

，
則

am+1am+2

am

=

(m+1)(m+2)

m

=

m2+3m+2

m

=m+

2

m

+3，
則

2

m

必為正整數(shù)，
∴m=1，2．
當m=1時，m+

2

m

+3=6，
由S_n=

n(n+1)

2

=6，得n=3，
即

am+1am+2

am

為數(shù)列{S_n}中的第3項，
故所求m=1，2．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式的求解，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．