Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，

an+1

n+1

=

an

n

+

2

n(n+1)

（n∈N^*），則a₁₀=（　�。�

A．34

B．36

C．38

D．40

Answer 1

分析：由已知利用裂項(xiàng)可得，

an+1

n+1

-

an

n

=2(

1

n

-

1

n+1

)，然后利用疊加法可求

an+1

n+1

，進(jìn)而可求a_n+1，最后把n=9代入即可求解

解答：解：∵a₁=2，

an+1

n+1

=

an

n

+

2

n(n+1)

∴

an+1

n+1

-

an

n

=2(

1

n

-

1

n+1

)
∴

a2

2

-

a1

1

=2(1-

1

2

)

a3

3

-

a2

2

=2(

1

2

-

1

3

)
…

an+1

n+1

-

an

n

=2(

1

n

-

1

n+1

)
以上n個(gè)式子相加可得，

an+1

n+1

-a1=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

∴

an+1

n+1

=2+

2n

n+1

∴a_n+1=2（n+1）+2n=4n+2
∴a₁₀=38
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用裂項(xiàng)求解數(shù)列的和及利用疊加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用