Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+a•2^-x是定義域為R的奇函數(shù)，
（1）求實數(shù)a的值；
（2）證明：f（x）是R上的單調函數(shù)；
（3）若對于任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（t²-k）＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=2^x+a•2^-x是定義域為R的奇函數(shù)，
∴f（0）=1+a=0，∴a=-1，
經(jīng)檢驗當a=-1時，f（x）是奇函數(shù)，故所求a=-1；
（2）由（1）可知f（x）=2^x-2^-x，
?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，

∵x₁＜x₂，∴，即
∴f（x₂）-f（x₁）＞0即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的遞增函數(shù)，即f（x）是R上的單調函數(shù)．
（3）∵根據(jù)題設及（2）知f（t²-2t）+f（t²-k）＞0，
等價于f（t²-2t）＞-f（t²-k）=f（k-t²），即t²-2t＞k-t²，∴2t²-2t-k＞0，
∴原不等式恒成立即是2t²-2t-k＞0在t∈R上恒成立，∴△=4+8k＜0，
∴所求k的取值范圍是．
分析：（1）由f（0）=1+a=0可得a值；
（2）?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可得f（x₂）-f（x₁）的表達式，的其范圍即可說明為增函數(shù)；
（3）由函數(shù)的性質可得原不等式恒成立即是2t²-2t-k＞0在t∈R上恒成立，由△＜0可得范圍．
點評：本題考查函數(shù)的單調性的判斷與證明，涉及函數(shù)恒成立問題，屬基礎題．