已知函數(shù)f(x)=2x+a•2-x是定義域為R的奇函數(shù),
(1)求實數(shù)a的值;
(2)證明:f(x)是R上的單調函數(shù);
(3)若對于任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(t2-k)>0恒成立,求k的取值范圍.
解:(1)∵f(x)=2
x+a•2
-x是定義域為R的奇函數(shù),
∴f(0)=1+a=0,∴a=-1,
經(jīng)檢驗當a=-1時,f(x)是奇函數(shù),故所求a=-1;
(2)由(1)可知f(x)=2
x-2
-x,
?x
1,x
2∈R,且x
1<x
2,
∵x
1<x
2,∴
,即
∴f(x
2)-f(x
1)>0即f(x
2)>f(x
1),
∴f(x)是R上的遞增函數(shù),即f(x)是R上的單調函數(shù).
(3)∵根據(jù)題設及(2)知f(t
2-2t)+f(t
2-k)>0,
等價于f(t
2-2t)>-f(t
2-k)=f(k-t
2),即t
2-2t>k-t
2,∴2t
2-2t-k>0,
∴原不等式恒成立即是2t
2-2t-k>0在t∈R上恒成立,∴△=4+8k<0,
∴所求k的取值范圍是
.
分析:(1)由f(0)=1+a=0可得a值;
(2)?x
1,x
2∈R,且x
1<x
2,可得f(x
2)-f(x
1)的表達式,的其范圍即可說明為增函數(shù);
(3)由函數(shù)的性質可得原不等式恒成立即是2t
2-2t-k>0在t∈R上恒成立,由△<0可得范圍.
點評:本題考查函數(shù)的單調性的判斷與證明,涉及函數(shù)恒成立問題,屬基礎題.