Question

已知：f（x）=

x2+ax+b

x

，x∈（0，+∞）
（1）若b≥1，求證：函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
（2）是否存在實數(shù)a，b，使f（x）同時滿足下列二個條件：
①在（0，1）上是減函數(shù)，（1，+∞）上是增函數(shù)；
②f（x）的最小值是3，若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求f′（x），所以只要證明b≥1時，對于x∈（0，1），f′（x）＜0即可；
（2）根據(jù)條件①知，方程f′（x）=0在（0，+∞）上有解，并且解為x=

b

，所以令b=1，便滿足條件①了，再根據(jù)x=1時，f（x）取最小值3求出a即可．

解答： 解：（1）f′（x）=

x2-b

x2

；
x∈（0，1）時，x²∈（0，1）；
∴若b≥1，則：
f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
（2）令f′（x）=0，若滿足第一個條件，則該方程在（0，+∞）上有解；
并且解為x=

b

；
∴x∈(0，

b

)時，f′（x）＜0；x∈(

b

，+∞)時，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，

b

）上是減函數(shù)，在(

b

，+∞)上是增函數(shù)；
∴令b=1，便得到f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，即滿足①；
∴此時x=1時f（x）取到最小值

1+a+1

1

=3，a=1；
∴最后得到存在a=1，b=1使f（x）滿足條件①②．

點評：考查根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)為0，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法與過程．