Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1），n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）已知數(shù)列{b_n}滿足：，若b_n＜M對任意的n∈N^*恒成立，求M的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由已知得：nS_n+1-（n+1）S_n=n（n+1）即 …（2分）
∴是等差數(shù)列，首項為2，公差為1，∴S_n=n²+n…（4分）
∴a_n=S_n-S_n-1=2n當(dāng)n=1時，a₁=2也適合上式∴a_n=2n…（6分）
（2）由（1）得，…（7分）
∵，…（8分）
∴當(dāng)n=1時，b₁＜b₂當(dāng)n=2時，b₂=b₃，當(dāng)n≥3時，b_n＞b_n+1
∴第二、三項取最大值為，…（10分）
∵b_n＜M對任意的n∈N^*恒成立，∴b_n的最大值小于M，∴．
所以，M的取值范圍．…（12分）
分析：（1）通過a_n+1=S_n+1-S_n化簡數(shù)列na_n+1=S_n+n（n+1），等號兩邊同除n+1），即可怎么數(shù)列是等差數(shù)列，求出數(shù)列{a_n}的首項與公差，即可得到通項公式；
（2）通過（1）求出的表達式，若b_n＜M對任意的n∈N^*恒成立，只需求出數(shù)列{b_n}中的最大項，即可求M的取值范圍．
點評：本題是中檔題，考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列通項公式與數(shù)列中最大項的求法，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想，分類討論的應(yīng)用．