Question

設(shè)函數(shù)h（x）=x²，φ（x）=2elnx（e為自然對(duì)數(shù)的底）．
（1）求函數(shù)F（x）=h（x）-φ（x）的極值；
（2）若存在常數(shù)k和b，使得函數(shù)f（x）和g（x）對(duì)其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x分別滿足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱直線l：y=kx+b為函數(shù)f（x）和g（x）的“隔離直線”．試問(wèn)：函數(shù)h（x）和φ（x）是否存在“隔離直線”？若存在，求出“隔離直線”方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，驗(yàn)證可能的極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符合相反，得到函數(shù)存在極值．
（2）由題意知若存在隔離直線，則對(duì)其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x分別滿足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，兩個(gè)函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，設(shè)出直線的方程，根據(jù)函數(shù)的恒成立得到k的值，求出函數(shù)的極大值，得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵F（x）=h（x）-φ（x）=x²-2elnx（x＞0）
∴F′(x)=

2(x- e )(x+ e )

x

當(dāng)x=

e

時(shí)，F(xiàn)^′（x）=0，當(dāng)0＜x＜

e

時(shí)，F(xiàn)^′（x）＜0，當(dāng)x＞

e

時(shí)，F(xiàn)^′（x）＜0
∴F（x）在

e

處取得極小值0．
（2）由（1）知當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）≥φ（x），
若存在隔離直線，則對(duì)其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x分別滿足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，
∵兩個(gè)函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，
∴隔離直線必過(guò)（

e

，e）
設(shè)直線的方程是y-e=k（x-

e

）
∴h（x）≥kx+e-k

e

恒成立，
∴△≤0
∴k=2

e

令G（x）=φ（x）-2

e

x+e
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)有當(dāng)x＞

e

時(shí)，F(xiàn)^′（x）＜0，當(dāng)0＜x＜

e

時(shí)，F(xiàn)^′（x）＜0
∴當(dāng)x=

e

時(shí)有G（x）的極大值 為0，也就是最大值為0．
從而G（x）≤0，即?(x)≤2

e

x-e，(x＞0) 恒成立．
故函數(shù)h（x） 和φ（x） 存在唯一的“隔離直線”y=2

e

x-e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，求解本題關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，由最值的定義得出函數(shù)的最值，本題中第一小題是求出函數(shù)的極值，第二小題是一個(gè)求函數(shù)的最值的問(wèn)題，此類題運(yùn)算量較大，轉(zhuǎn)化靈活，解題時(shí)極易因?yàn)樽冃闻c運(yùn)算出錯(cuò)，故做題時(shí)要認(rèn)真仔細(xì)．