Question

【題目】已知（m，n為常數(shù)），在處的切線方程為.

（Ⅰ）求的解析式并寫出定義域；

（Ⅱ）若任意，使得對任意上恒有成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）若有兩個不同的零點，求證： .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ，x∈（0，+∞）；(Ⅱ) ；(Ⅲ)證明見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意利用導函數(shù)研究切線方程可得，x∈（0，+∞）；

(Ⅱ)結合（Ⅰ）的結論，f（x）在上的最小值為f（1）=1，故只需對恒成立，構造函數(shù)，結合新函數(shù)的性質可得a的取值范圍為。

試題解析：

（Ⅰ），由條件可得及在處的切線方程為，得，所以，x∈（0，+∞）。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在上單調遞減，∴f（x）在上的最小值為f（1）=1，故只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即對恒成立，令，易得m（t）在單調遞減，[1，2]上單調遞增，而 ∴∴，即a的取值范圍為。

（Ⅲ）∵，不妨設x1＞x2＞0，∴g（x1）=g（x2）=0，∴，兩式相加相減后作商得： ，要證，即證明lnx1+lnx2＞2，即證： ，需證明成立，令，于是要證明： ，構造函數(shù)， ，故在（1，+∞）上是增函數(shù)，∴，∴，故原不等式成立.