【題目】已知(m,n為常數(shù)),在
處的切線方程為
.
(Ⅰ)求的解析式并寫出定義域;
(Ⅱ)若任意,使得對任意
上恒有
成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若有兩個不同的零點
,求證:
.
【答案】(Ⅰ) ,x∈(0,+∞);(Ⅱ)
;(Ⅲ)證明見解析.
【解析】試題分析:
(Ⅰ)由題意利用導函數(shù)研究切線方程可得,x∈(0,+∞);
(Ⅱ)結合(Ⅰ)的結論,f(x)在上的最小值為f(1)=1,故只需
對
恒成立,構造函數(shù)
,結合新函數(shù)的性質可得a的取值范圍為
。
試題解析:
(Ⅰ),由條件可得
及在
處的切線方程為
,得
,所以
,x∈(0,+∞)。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在上單調遞減,∴f(x)在
上的最小值為f(1)=1,故只需t3﹣t2﹣2at+2≤1,即
對
恒成立,令
,易得m(t)在
單調遞減,[1,2]上單調遞增,而
∴
∴
,即a的取值范圍為
。
(Ⅲ)∵,不妨設x1>x2>0,∴g(x1)=g(x2)=0,∴
,兩式相加相減后作商得:
,要證
,即證明lnx1+lnx2>2,即證:
,需證明
成立,令
,于是要證明:
,構造函數(shù)
,
,故
在(1,+∞)上是增函數(shù),∴
,∴
,故原不等式成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,橢圓
:
的離心率是
,且直線
:
被橢圓
截得的弦長為
.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若直線與圓
:
相切:
(i)求圓的標準方程;
(ii)若直線過定點
,與橢圓
交于不同的兩點
、
,與圓
交于不同的兩點
、
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的滿足
,前
項的和為
,且
.
(1)求的值;
(2)設,證明:數(shù)列
是等差數(shù)列;
(3)設,若
,求對所有的正整數(shù)
都有
成立的
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)
在點
處的切線方程;
(2)討論函數(shù)的單調性;
(3)當時,求證:對任意
,都有
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知過拋物線的焦點
,斜率為
的直線交拋物線于
兩點,且
.
(1)求該拋物線的方程;
(2)已知拋物線上一點,過點
作拋物線的兩條弦
和
,且
,判斷直線
是否過定點?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校舉辦“中國詩詞大賽”活動,某班派出甲乙兩名選手同時參加比賽. 大賽設有15個詩詞填空題,其中“唐詩”、“宋詞”和“毛澤東詩詞”各5個.每位選手從三類詩詞中各任選1個進行作答,3個全答對選手得3分,答對2個選手得2分,答對1個選手得1分,一個都沒答對選手得0分. 已知“唐詩”、“宋詞”和“毛澤東詩詞”中甲能答對的題目個數(shù)依次為5,4,3,乙能答對的題目個數(shù)依此為4,5,4,假設每人各題答對與否互不影響,甲乙兩人答對與否也互不影響.
求:(1)甲乙兩人同時得到3分的概率;
(2)甲乙兩人得分之和的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了研究“教學方式”對教學質量的影響,某高中老師分別用兩種不同的教學方式對入學數(shù)學平均分數(shù)和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個高一新班進行教學(勤奮程度和自覺性都一樣).如圖莖葉圖為甲、乙兩班(每班均為20人)學生的數(shù)學期末考試成績.
(1)現(xiàn)從甲班數(shù)學成績不低于80分的同學中隨機抽取兩名同學,求成績?yōu)?7分的同學至少有一名被抽中的概率;
(2)學校規(guī)定:成績不低于75分的為優(yōu)秀,請?zhí)顚?/span>列聯(lián)表,并判斷有多大把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”.
甲班 | 乙班 | 合計 | |
優(yōu)秀 | |||
不優(yōu)秀 | |||
合計 |
參考公式與臨界值表: .
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中,已知曲線,將曲線
上的點向左平移一個單位,然后縱坐標不變,橫坐標軸伸長到原來的2倍,得到曲線
,又已知直線
(
是參數(shù)),且直線
與曲線
交于
兩點.
(I)求曲線的直角坐標方程,并說明它是什么曲線;
(II)設定點,求
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間
上的最大值和最小值,及相應的
的值.
(Ⅲ)求函數(shù)在區(qū)間
的單調區(qū)間.
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