Question

【題目】函數(shù)f（x）的定義域為D={x|x≠0}，且滿足對于任意x1 ， x2∈D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明你的結(jié)論；
（3）如果f（4）=1，f（x﹣1）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵對于任意x1，x2∈D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），

∴令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），∴f（1）=0．

（2）解：f（x）為偶函數(shù)．

證明：令x1=x2=﹣1，有f（1）=f（﹣1）+f（﹣1），∴f（﹣1）= f（1）=0．

令x1=﹣1，x2=x有f（﹣x）=f（﹣1）+f（x），∴f（﹣x）=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)．

（3）解：依題設(shè)有f（4×4）=f（4）+f（4）=2，由（2）知，f（x）是偶函數(shù)，

∴f（x﹣1）＜2f（|x﹣1|）＜f（16）．又f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，

∴0＜|x﹣1|＜16，解之得﹣15＜x＜17且x≠1，∴x的取值范圍是{x|﹣15＜x＜17且x≠1}．

【解析】（1）根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系求得f（1）的值；（2）令x1=﹣1，x2=x，并結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系及f（﹣1）的值判斷函數(shù)的奇偶性；（3）根據(jù)f（4）=1及函數(shù)關(guān)系可求得函數(shù)值為2的自變量的值，再利用單調(diào)性變?yōu)樽宰兞康牟坏仁�，從而求得x的取值范圍.
【考點精析】關(guān)于本題考查的奇偶性與單調(diào)性的綜合，需要了解奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性才能得出正確答案．