Question

設(shè)關(guān)于x的方程2x²-ax-2=0的兩根為α、β（α＜β），函數(shù)．
（1）求f（α）、f（β）的值；
（2）證明f（x）是[α，β]上的增函數(shù)；
（3）當(dāng)α為何值時，f（x）在區(qū)間[α，β]上的最大值與最小值之差最小？

Answer 1

解：（1）．
（2）設(shè)Φ（x）=2x²-ax-2，則當(dāng)a＜x＜β時，Φ（x）＜0.=-
∴函數(shù)f（x）在（α，β）上是增函數(shù)．
（3）函數(shù)f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，
∵|f（α）•f（β）|=4，
∴當(dāng)且僅當(dāng)f（β）=-f（α）=2時，f（β）-f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，此時a=0，f（β）=2．
分析：（1）先利用根與系數(shù)的關(guān)系求出α與β的關(guān)系，然后將f（α）與f（β）中的α與β消去即可；
（2）設(shè)Φ（x）=2x²-ax-2，則當(dāng)a＜x＜β時，Φ（x）＜0，利用f'（x）的符號進(jìn)行判定函數(shù)的單調(diào)性即可；
（3）根據(jù)（2）可知函數(shù)f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，而|f（α）•f（β）|=4，則當(dāng)f（β）=-f（α）=2時，f（β）-f（α）取最小值，從而得到結(jié)論．
點評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用，以及函數(shù)單調(diào)性的判定和函數(shù)最值等有關(guān)知識，同時考查了計算能力，屬于中檔題．