Question

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點，已知|AB|=3米，|AD|=2米．
（Ⅰ）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（Ⅱ）若AN的長不小于4米，試求矩形AMPN的面積的最小值以及取得最小值時AN的長度．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）如圖，由題設(shè)令A(yù)N=x米，然后用x表示出邊長|AM|=

3x

x-2

，由題意得出

3x2

x-2

x＞32，從中求出x的范圍，即為AN的取值范圍．
（Ⅱ）表示出矩形的面積，化簡后用基本不等式求出最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)AN=x米，（x＞2），則ND=x-2
∵

|DN|

|AN|

=

|DC|

|AM|

，
∴|AM|=

3x

x-2

，
∴S_AMPN=|AN|•|AM|=

3x2

x-2

x，
∴

3x2

x-2

x＞32，
∵x＞2，
∴3x²-32x+64＞0（4分）
∴（3x-8）（x-8）＞0
∴2＜x＜

8

3

或x＞8，
即AN長的取值范圍是（2，

8

3

）∪（8，+∞）；
（Ⅱ）由條件AN的長不小于4，
所以y=

3x2

x-2

=

3(x-2)2+12(x-2)+12

x-2

=3(x-2)+

12

x-2

+12≥2

3(x-2)• 12 x-2

+12=24．
當(dāng)且僅當(dāng)3(x-2)=

12

x-2

，即x=4時y=

3x2

x-2

取得最小值，且最小值為24平方米．
答：（Ⅰ）2＜AN＜

8

3

或AN＞8
（Ⅱ）當(dāng)AN的長度是4米時，矩形AMPN的面積最小，最小面積為24平方米．

點評：本題是個應(yīng)用題，第一問要求根據(jù)題設(shè)關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，并求出處變量的取值范圍；第二問考查了基本不等式求最值；本題屬于中檔題．