(理)如圖,正三棱柱
的所有棱長都為
,
為
中點.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求二面角的大�。�
(Ⅲ)求點到平面
的距離.
(文)設(shè)函數(shù)
證明:當(dāng)沒有極值點;當(dāng)
有且只有一個極值點,并求出極值
(理)解:解法一:(Ⅰ)取中點
,連結(jié)
.
為正三角形,
.
正三棱柱
中,平面
平面
,
平面
.
連結(jié),在正方形
中,
分別為
的中點,
,
.
在正方形中,
,
平面
.
(Ⅱ)設(shè)與
交于點
,在平面
中,作
于
,連結(jié)
,由(Ⅰ)得
平面
.
,
為二面角
的平面角.
在中,由等面積法可求得
,
又,
.
所以二面角的大小為
.
(Ⅲ)中,
,
.
在正三棱柱中,到平面
的距離為
.
設(shè)點到平面
的距離為
.
由得
,
.
點
到平面
的距離為
.
解法二:(Ⅰ)取中點
,連結(jié)
.
為正三角形,
.
在正三棱柱
中,平面
平面
,
平面
.
取中點
,以
為原點,
,
,
的方向為
軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則
,
,
,
,
,
,
,
.
,
=-1+=0,
,
.
平面
.
(Ⅱ)設(shè)平面的法向量為
.
,
.
,
,
令得
為平面
的一個法向量.
由(Ⅰ)知平面
,
為平面
的法向量.
,
.
二面角
的大小為
.
(Ⅲ)由(Ⅱ),為平面
法向量,
.
點
到平面
的距離
.
(文)證明:因為
當(dāng)上單調(diào)遞增;
如果上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)沒有極值點.
當(dāng),
當(dāng)、
隨x的變化情況如下表:
x |
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
極小值 |
|
從上表可看出,
函數(shù)有且只有一個極小值點,
極小值為,
當(dāng)、
隨x的變化情況如下表:
x |
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
極小值 |
|
從上表可以看出,
函數(shù)有且只一個極大值點,極大值為
,
綜上所述,當(dāng)沒有極值點;當(dāng)
時,
有且只有一個極小值點,極大值為
有且只有一個極大值點,極大值為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(07年福建卷理)(本小題滿分12分)如圖,正三棱柱的所有棱長都為
,
為
中點.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求二面角的大�。�
(Ⅲ)求點到平面
的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(07年西城區(qū)抽樣測試?yán)恚?4分) 如圖,正三棱柱ABC―A1B1C1中,D是BC的中點,AA1=AB=1.
(I)求證:A1C//平面AB1D;
(II)求二面角B―AB1―D的大��;
(III)求點c到平面AB1D的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(03年北京卷理)(12分)
如圖,正四棱柱ABCD―A1B1C1D1中,底面邊長為,側(cè)棱長為4.E,F(xiàn)分別為棱AB,BC的中點,
EF∩BD=G.
(Ⅰ)求證:平面B1EF⊥平面BDD1B1;
(Ⅱ)求點D1到平面B1EF的距離d;
(Ⅲ)求三棱錐B1―EFD1的體積V.
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