Question

過拋物線y²=4x的焦點F作相互垂直的兩條弦AB和CD，則|AB|+|CD|的最小值是（　�。�

• A、8

  5

• B、16
• C、8
• D、7

Answer 1

分析：焦點(

p

2

，0)，設(shè)AB：y=k（x-

p

2

），那么CD：y=（-

1

k

）（x-

p

2

），由題意知AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=|

2p(k2+1)

k2

|，CD=|2p（k²+1）|，由此可知AB+CD=|2p（k²+1）|×|

1

k2

+1|=|2p×(k+

1

k

)2|≥|8p|=16．

解答：解：焦點(

p

2

，0)，設(shè)AB：y=k（x-

p

2

），那么CD：y=（-

1

k

）（x-

p

2

）
A、B坐標(biāo)滿足方程k2x2-(pk2+2p) x+

k2p2

4

=0，
C、D坐標(biāo)滿足方程x2-(p+2pk2) x+

p2

4

=0．
AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(k2+1)(x1-x2)2

=

(k2+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=|

2p(k2+1)

k2

|
所以

1

AB

=

k2

2p(k2+1)

CD=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

( 1 k2 +1)(x1-x2)2

=

( 1 k2 +1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=|2p（k²+1）|
則AB+CD=|2p（k²+1）|×|

1

k2

+1|=|2p×(k+

1

k

)2|≥|8p|=16．
故選B．

點評：本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，解題時要認真審題，仔細解答．