如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1,ACC1A1均為正方形,∠BAC=90,點(diǎn)D是棱B1C1的中點(diǎn).
(1)求證AB1∥平面A1DC;
(2)求AC與平面A1DC所成角的正弦值的大。
考點(diǎn):直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定
專(zhuān)題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)以A為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系,求出面A1DC的法向量
m
=(-1,1,1),
AB1
m
=0
∴AB1∥平面A1DC;
(2)求出)
AC
與面A1DC的法向量
m
的夾角的余弦,由圖得到AC與平面A1DC所成角的關(guān)系即可.
解答: (1)證明:由題意知,AA1⊥面ABC,以A為原點(diǎn)建立如圖空間坐標(biāo)系,設(shè)AB=1,有:A=(0,0,0),A1=(0,0,1),C=(0,1,0),D=(
1
2
,
1
2
,1),
A1D
=(
1
2
,
1
2
,0),
A1C
=(0,1,-1),
AB1
=(1,0,1),設(shè)面A1DC的法向量
m
=(x,y,z)
m
A1C
=0
m
A1D
=0
y-z=0
1
2
x+
1
2
y=0
,面A1DC的法向量
m
=(-1,1,1),
AB1
m
=0

∴AB1∥平面A1DC;
(2)
AC
=(0,1,0),由(1)知,面A1DC的法向量
m
=(-1,1,1),設(shè)AC與平面A1DC所成角為θ,sinθ=cos
m
,
AC
>=
m
AC
|
m
||
AC
|
=
3
3
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面平行的判定,線面角的求法,而利用向量法的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.
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(1)
2cos2α-1
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π
3
,b=y2-2z+
π
6
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π
2
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lgx
lg3
)(a∈R且a>1)在區(qū)間[1,2]的最大值與最小值之差為2+(
lg2
lg3
),則實(shí)數(shù)a的值為
 

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