Question

如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，

2

），且離心率為

3

2

．
（ I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（ II）過(guò)點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓相交于不同兩點(diǎn)P、Q，點(diǎn)N在線段PQ上．設(shè)

| MP |

| PN |

=

| MQ |

| NQ |

=λ，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由題設(shè)條件求出b²和a²，由此可以求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（ II）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），分兩種情況討論：①若直線l與y軸重合，此時(shí)λ易解得；②若直線l與y軸不重合，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立消去y得一元二次方程，由韋達(dá)定理及

| MP |

| PN |

=

| MQ |

| NQ |

=λ可得x0=-

1

k

，進(jìn)而可求出y₀值，結(jié)合圖象可得1＜y₁＜

2

，再由λ與y₁的關(guān)系即可求得λ的取值范圍；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
因?yàn)樗�的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，

2

），所以b²=2，由離心率等于

3

2

，
得

a2-b2 a2

=

3

2

，解得a²=8，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（ II）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），
①若直線l與y軸重合，則

| MP |

| PN |

=

| MQ |

| NQ |

=λ⇒

2- 2

2 -y0

=

2+ 2

2 +y0

=λ，解得y₀=1，得λ=

2

；
②若直線l與y軸不重合，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，
與橢圓方程聯(lián)立消去y，得（1+4k²）x²+16kx+8=0，
根據(jù)韋達(dá)定理得，x₁+x₂=-

16k

1+4k2

，x₁x₂=

8

1+4k2

，（*）
由

| MP |

| PN |

=

| MQ |

| NQ |

=λ，得

0-x1

x1-x0

=

0-x2

x0-x2

，
整理得2x₁x₂=x₀（x₁+x₂），把上面的（*）式代入得x0=-

1

k

，
又點(diǎn)N在直線y=kx+2上，所以y0=k(-

1

k

)+2=1，于是由圖象知1＜y₁＜

2

，
λ=

2-y1

y1-1

=

1

y1-1

-1，由1＜y₁＜

2

，得

1

y1-1

＞

2

+1，所以λ＞

2

．
綜上所述，λ≥

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查分類(lèi)討論思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大．