Question

（16分）已知函數(shù)

（1）求證：函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)；

（2）設(shè)，求的值域；

（3）對(duì)于（2）中函數(shù)，若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918403578513208/SYS201211191841214257308472_DA.files/image002.png">；（3）的取值范圍為。

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，以及函數(shù)與方程的思想的綜合運(yùn)用

（1）根據(jù)已知關(guān)系式設(shè)出變量，作差，變形定號(hào)得到結(jié)論。

（2）在第一問的基礎(chǔ)上，可知分析函數(shù)的單調(diào)性得到值域。

（（3）因?yàn)橛桑?）可知可知其圖像，然后徐結(jié)合圖像，

設(shè)，則有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即為有兩個(gè)根，且一個(gè)在上，一個(gè)在上，然后分析得到m的范圍。

（1），設(shè)是上的任意兩個(gè)數(shù)，且，……2分

則……4分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918403578513208/SYS201211191841214257308472_DA.files/image014.png">，∴，∴即

所以在上為增函數(shù)，                        …………………………6分

（2），

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918403578513208/SYS201211191841214257308472_DA.files/image020.png">，所以，所以，

即   …………………………8分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918403578513208/SYS201211191841214257308472_DA.files/image020.png">時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，

所以單調(diào)遞增，所以值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918403578513208/SYS201211191841214257308472_DA.files/image002.png">     …………………………10分

（3）由（2）可知大致圖象如右圖所示，

設(shè)，則有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即為有兩個(gè)根，且一個(gè)在上，一個(gè)在上，設(shè)      ………12分

①當(dāng)有一個(gè)根為1時(shí)，

，，此時(shí)另一根為適合題意； ………………13分

②當(dāng)沒有根為1時(shí)，，得，∴

∴的取值范圍為                         …………………………16分