Question

如圖，已知雙曲線，曲線，是平面上一點，若存在過點的直線與、都有公共點，則稱為“型點”．

(1)在正確證明的左焦點是“型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；

(2)設(shè)直線與有公共點，求證，進而證明原點不是“型點”；

(3)求證：圓內(nèi)的點都不是“型點”．

Answer 1

【解答】：（1）的左焦點為，過的直線與交于，與交于，故的左焦點為“型點”，且直線可以為；

（2）直線與有交點，則

，若方程組有解，則必須；

直線與有交點，則

，若方程組有解，則必須

故直線至多與曲線和中的一條有交點，即原點不是“型點”。

（3）顯然過圓內(nèi)一點的直線若與曲線有交點，則斜率必存在；

根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線交于點，則

直線與圓內(nèi)部有交點，故

化簡得，。。。。。。。。。。。。①

若直線與曲線有交點，則

若，則

化簡得，。。。。。②

由①②得，

但此時，因為即①式不成立；

當(dāng)時，①式也不成立

綜上，直線若與圓內(nèi)有交點，則不可能同時與曲線和有交點，

即圓內(nèi)的點都不是“型點”．