Question

已知數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且滿(mǎn)足a₂+a₃=a₄，a₁₁=a₃+a₄，記b_n=a_2n-1（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{

bn2+bn+1

bn2+bn

}的前2014項(xiàng)和為T(mén)₂₀₁₄，求不超過(guò)T₂₀₁₄的最大整數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出首項(xiàng)和公比，公差，即可求出相應(yīng)的通項(xiàng)公式．
（2）求出數(shù)列{

bn2+bn+1

bn2+bn

}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法即可求前2014項(xiàng)和為T(mén)₂₀₁₄，即得到得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列的公差為d，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為q，
由a₂+a₃=a₄，a₁₁=a₃+a₄，得

3+d=2q q=2d

，解得d=1，q=2，
則a_2n-1=1+（n-1）×1=n，b_n=a_2n-1=n．
（2）

bn2+bn+1

bn2+bn

=

n2+n+1

n2+n

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，
則數(shù)列{

bn2+bn+1

bn2+bn

}的前2014項(xiàng)和為T(mén)₂₀₁₄=（1+1-

1

2

）+（1+

1

2

-

1

3

）+…+（1+

1

2014

-

1

2015

）=2015-

1

2015

，
則不超過(guò)T₂₀₁₄的最大整數(shù)為2014．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的計(jì)算，利用裂項(xiàng)法法是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．