Question

設(shè)．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（II）求方程f（x）=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用函數(shù)的求導(dǎo)公式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和極值．
（II）由于，所以，．再進(jìn)行分類討論．
解答：解：（I）f'（x）=2x²-2，由f'（x）=2x²-2=0得 x=-1或x=1．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+		--		+
f（x）	單增	極大值	單減	極小值	單增

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）；
極大值為，極小值為．
（II）由于，所以，．
①當(dāng)時(shí)，f（-1）=0，即x=-1是方程f（x）=0的一個(gè)解．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183850325381689/SYS201310241838503253816001_DA/9.png">，
所以，方程f（x）=0在（1，3）內(nèi)至少有一個(gè)解．根據(jù)函數(shù)f（x）單調(diào)性可知，方程f（x）=0有兩個(gè)不同的解．
②當(dāng)時(shí)，，即x=1是方程f（x）=0的一個(gè)解．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183850325381689/SYS201310241838503253816001_DA/12.png">，
所以方程f（x）=0在（-3，-1）內(nèi)至少有一個(gè)解．根據(jù)函數(shù)f（x）單調(diào)性可知，方程f（x）=0有兩個(gè)不同的解．
③當(dāng)時(shí)，，，所以方程f（x）=0在（-1，1）內(nèi)至少有一個(gè)解．又由f（-3）=m-12＜0，知方程f（x）=0在（-3，-1）內(nèi)至少有一個(gè)解；由f（3）=12+m＞0，知方程f（x）=0在（1，3）內(nèi)至少有一個(gè)解．根據(jù)函數(shù)f（x）單調(diào)性可知，方程f（x）=0有三個(gè)不同的解．
點(diǎn)評：通過本題考查學(xué)生幾個(gè)方面的能力：（1）能否將“求方程f（x）=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)”問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的零點(diǎn)問題；（2）對于函數(shù)問題，是否能夠主動(dòng)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一工具來研究函數(shù)整體的狀態(tài)、性質(zhì)．