Question

下圖是一個(gè)直三棱柱(以A₁B₁C₁為底面)被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝1，∠A₁B₁C₁＝90°，AA₁＝4，BB₁＝2，CC₁＝3．

(1)設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：OC∥平面A₁B₁C₁；

(2)求二面角B―AC―A₁的大�。�

(3)求此幾何體的體積．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(1)證明：作交于，連． 　　則． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0990/0024/45cbc70703f823828ce1f153e6723ca7/C/Image216.gif" width=16 HEIGHT=18>是的中點(diǎn)， 　　所以． 　　則是平行四邊形，因此有． 　　平面且平面， 　　則面． 　　(2)如圖，過作截面面，分別交，于，． 　　作于，連． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0990/0024/45cbc70703f823828ce1f153e6723ca7/C/Image238.gif" width=45 height=24>面，所以，則平面． 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0990/0024/45cbc70703f823828ce1f153e6723ca7/C/Image243.gif" width=61 height=24>，，． 　　所以，根據(jù)三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0990/0024/45cbc70703f823828ce1f153e6723ca7/C/Image249.gif" width=68 HEIGHT=45>，所以，故， 　　即：所求二面角的大小為． 　　(3)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0990/0024/45cbc70703f823828ce1f153e6723ca7/C/Image253.gif" width=68 HEIGHT=45>，所以 　　． 　　． 　　所求幾何體體積為 　　． 　　解法二： 　　(1)如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 　　則，，，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0990/0024/45cbc70703f823828ce1f153e6723ca7/C/Image262.gif" width=16 HEIGHT=18>是的中點(diǎn)，所以， 　　． 　　易知，是平面的一個(gè)法向量． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0990/0024/45cbc70703f823828ce1f153e6723ca7/C/Image268.gif" width=65 height=22>，平面，所以平面． 　　(2)，， 　　設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則 　　則，得： 　　取，． 　　顯然，為平面的一個(gè)法向量． 　　則，結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角． 　　所以二面角的大小是．