Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)．

（1）求的解析式；

（2）若（為實(shí)數(shù)）恒成立，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，討論在區(qū)間上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

（1）f（x）＝lnx；

（2）；

（3）當(dāng)m＝1時(shí)，函數(shù)F（x）在（0，2）無極值點(diǎn)；當(dāng)或m≥2時(shí)，F(xiàn)（x）有1個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)且m≠1時(shí)，F(xiàn)（x）有2個(gè)極值點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)的圖象過定點(diǎn)（1，0） 1分

把點(diǎn)（1，0）代入得

f（x）＝lnx 2分

（2）恒成立，即恒成立，得

3分

令 4分

當(dāng)時(shí)，，所以在為減函數(shù) 5分

當(dāng)時(shí)，，所以在為增函數(shù) 6分

的最小值為

故 7分

（3）由（1）知：

又，由F′（x）＝0得， 9分

當(dāng)時(shí)，得m＝1，F(xiàn)′（x）≥0，F(xiàn)（x）在（0，2）為增函數(shù)，無極值點(diǎn) 10分

當(dāng)且時(shí)，得且m≠1，

根據(jù)x，F(xiàn)（x），F(xiàn)′（x）的變化情況檢驗(yàn)，可知F（x）有個(gè)極值點(diǎn) 12分

當(dāng)或時(shí)，得或m≥2．

根據(jù)x，F(xiàn)（x），F(xiàn)′（x）的變化情況檢驗(yàn)，可知F（x）有個(gè)極值點(diǎn) 13分

綜上，當(dāng)m＝1時(shí)，函數(shù)F（x）在（0，2）無極值點(diǎn)；當(dāng)或m≥2時(shí)，F(xiàn)（x）有1個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)且m≠1時(shí)，F(xiàn)（x）有2個(gè)極值點(diǎn)． 14分

考點(diǎn)：考查了函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，極值問題．