Question

如圖E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊CD、DA的中點(diǎn)，今將△DEF沿EF翻折，使點(diǎn)D轉(zhuǎn)移至點(diǎn)P處，且平面PEF⊥平面ABCEF
（1）若平面PAF∩平面PBC=l，求證：l∥BC；
（2）求直線(xiàn)BC與平面PAB所成的角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角,平面的基本性質(zhì)及推論

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先證明AF∥平面PBC，再利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)證明l∥BC；
（2）利用V_P-ABC=V_C-PAB，求出C到平面PAB的距離，即可求直線(xiàn)BC與平面PAB所成的角的正弦值．

解答： （1）證明：∵AF∥BC，AF?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AF∥平面PBC，
∵AF?平面PAF，平面PAF∩平面PBC=l，
∴l(xiāng)∥BC；
（2）解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則
取EF的中點(diǎn)O，連接OA，OB，則
PO=

2

2

，OB=

3 2

2

，OA=

10

2

，
∴PA=

3

，PB=

5

，
∴cos∠APB=

3+5-4

2× 3 × 5

2

15

，
∴sin∠APB=

11

15

，
∴S_△PAB=

1

2

×

3

×

5

×

11

15

=

11

2

設(shè)C到平面PAB的距離為h，
∵V_P-ABC=V_C-PAB，
∴

1

3

×

1

2

×2×2×

2

2

=

1

3

×

11

2

h，
∴h=

2 2

11

，
∴直線(xiàn)BC與平面PAB所成的角的正弦值

h

2

=

22

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)，考查直線(xiàn)BC與平面PAB所成的角的正弦值，正確運(yùn)用線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)，利用等體積計(jì)算C到平面PAB的距離是關(guān)鍵．