Question

已知函數(shù)f（x）=ln|x|，（x≠0），函數(shù)g（x）=

1

f′(x)

+af′（x），a∈R．
（1）求函數(shù)y=g（x）的表達式和單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，函數(shù)y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系即可，求函數(shù)y=g（x）的表達式和單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)基本不等式求出函數(shù)的最小值，建立方程關系即可得到結(jié)論．

解答： （Ⅰ）∵f（x）=ln|x|，
∴當x＞0時，f（x）=lnx； 當x＜0時，f（x）=ln（-x），
∴當x＞0時，f′（x）=

1

x

； 當x＜0時，f′（x）=

1

-x

•(-1)=

1

x

．
∴當x≠0時，函數(shù)g（x）=

1

f′(x)

+af′（x）=x+

a

x

；
則g′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，
若a≤0，則g′（x）≥0；此時函數(shù)單調(diào)遞增，即函數(shù)的增區(qū)間為（0，+∞），（-∞，0）．
若a＞0，由g′（x）≥0，解得x≥

a

或x≤-

a

，即函數(shù)的增區(qū)間為（

a

，+∞），（-∞，-

a

）．
由g′（x）≤0，解得-

a

≤x＜0或0＜x≤

a

，即函數(shù)的減區(qū)間為[-

a

，0），（0，

a

]．
（Ⅱ）∵由（1）知當x＞0時，g（x）=x+

a

x

，
∴當a＞0，x＞0時，g（x）=x+

a

x

≥2

a

，當且僅當x=

a

時取等號．
∴函數(shù)y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2

a

=2，
即

a

=1，得a=1．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．