Question

某鄉(xiāng)鎮(zhèn)供電所為了調(diào)查農(nóng)村居民用電量情況，隨機(jī)抽取了500戶居民去年的月均用電量（單位：kw/h），將所得數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出頻率分布直方圖如下，其中直方圖從左到右前3個(gè)小矩形的面積之比為1：2：3，試估計(jì)：
（Ⅰ）該鄉(xiāng)鎮(zhèn)月均用電量在39.5～43.5內(nèi)的居民所占百分比約是多少？
（Ⅱ）該鄉(xiāng)鎮(zhèn)居民月均用電量的中位數(shù)約是多少？（精確到0.01）

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用頻率直方圖中小矩形的面積等于縱坐標(biāo)乘以組距求出最后兩個(gè)小矩形的面積之和，再由直方圖中各小矩形的面積之和為1，求出前三個(gè)矩形的面積和，進(jìn)一步求出在39.5～43.5內(nèi)的頻率．
（Ⅱ）由直方圖的面積平分線位于正中間一個(gè)矩形內(nèi)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為39.5+x．得到x：2=0.125：0.375，求出中位數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)直方圖從左到右前3個(gè)小矩形的面積分別為P，2P，3P．由直方圖可知，
最后兩個(gè)小矩形的面積之和為（0.0875+0.0375）×2=0.25．…（2分）
因?yàn)橹狈綀D中各小矩形的面積之和為1，所以P+2P+3P=0.75，即P=0.125．
所以3P+0.0875×2=0.55．…（4分）
由此估計(jì)，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)居民月均用電量在39.5～43.5內(nèi)的居民所占百分比約是55%．…（7分）
（Ⅱ）顯然直方圖的面積平分線位于正中間一個(gè)矩形內(nèi)，且該矩形在面積平分線左側(cè)部分的面積為0.5-P-2P=0.5-0.375=0.125，…（9分）
設(shè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為39.5+x．為正中間一個(gè)矩形的面積為3P=0.375，
所以x：2=0.125：0.375，即x=

2

3

≈0.67．…（11分）
從而39.5+x≈40.17，…（13分）
由此估計(jì)，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)居民月均用電量的中位數(shù)約是40.17（kw/h）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖中，小矩形的面積即頻率等于縱坐標(biāo)乘以組距；各小矩形的面積之和為1；直方圖中中位數(shù)左右兩邊的矩形的面積相等，屬于基礎(chǔ)題．