Question

已知雙曲線x²-y²=2的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的動(dòng)直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0）．
（Ⅰ）證明

CA

•

CB

為常數(shù)；
（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)M滿足

CM

=

CA

+

CB

+

CO

（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，可設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(2，

2

)，(2，-

2

)，由此可以求出

CA

•

CB

為常數(shù)1．當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1）．代入x²-y²=2，有（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0．再利用根與系數(shù)的關(guān)系能夠推導(dǎo)出

CA

•

CB

也為常數(shù)1，
（Ⅱ）由條件知F（2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由題設(shè)條件知得

x1+x2=x+2 y1+y2=y

，再由根與系數(shù)的關(guān)系和雙曲線的性質(zhì)推導(dǎo)點(diǎn)M的軌跡方程．

解答：（Ⅰ）證明：由條件知F（2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，可設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(2，

2

)，(2，-

2

)，
此時(shí)

CA

•

CB

=(1，

2

)•(1，-

2

)=-1．
當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1）．
代入x²-y²=2，有（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0．
則x₁，x₂是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以x1+x2=

4k2

k2-1

，x1x2=

4k2+2

k2-1

，
于是

CA

•

CB

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)(x2-2)=（k²+1）x₁x₂-（2k²+1）（x₁+x₂）+4k²+1=

(k2+1)(4k2+2)

k2-1

-

4k2(2k2+1)

k2-1

+4k2+1=（-4k²-2）+4k²+1=-1．
綜上所述，

CA

•

CB

為常數(shù)-1．
（Ⅱ）證法一：由條件知F（2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)M（x，y），則

CM

=(x-1，y)，

CA

=(x1-1，y1)，

CB

=(x2-1，y2)，

CO

=(-1，0)．由

CM

=

CA

+

CB

+

CO

得：

x-1=x1+x2-3 y=y1+y2

即

x1+x2=x+2 y1+y2=y

于是AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(

x+2

2

，

y

2

)．
當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x+2 2 -2

=

y

x-2

，即y1-y2=

y

x-2

(x1-x2)．
又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在雙曲線上，所以x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2，兩式相減得（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），即（x₁-x₂）（x+2）=（y₁-y₂）y．
將y1-y2=

y

x-2

(x1-x2)代入上式，化簡得x²-y²=4．
當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，x₁=x₂=2，求得M（2，0），也滿足上述方程．
所以點(diǎn)M的軌跡方程是x²-y²=4．
證法二：同證法一得

x1+x2=x+2 y1+y2=y

①
當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，由（I）有x1+x2=

4k2

k2-1

．②y1+y2=k(x1+x2-4)=k(

4k2

k-1

-4)=

4k

k2-1

．③
由①②③得x+2=

4k2

k2-1

．④y=

4k

k2-1

．⑤
當(dāng)k≠0時(shí)，y≠0，由④⑤得，

x+2

y

=k，將其代入⑤有y=

4× x+2 y

(x+2)2 y2 -1

=

4y(x+2)

(x+2)2-y2

．整理得x²-y²=4．
當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，0），滿足上述方程．
當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，x₁=x₂=2，求得M（2，0），也滿足上述方程．
故點(diǎn)M的軌跡方程是x²-y²=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)及其運(yùn)用，解題時(shí)要熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系．