Question

若橢圓C：的離心率e為，且橢圓C的一個焦點與拋物線y²＝－12x的焦點重合．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)點M(2,0)，點Q是橢圓上一點，當(dāng)|MQ|最小時，試求點Q的坐標(biāo)；

（3）設(shè)P(m,0)為橢圓C長軸（含端點）上的一個動點，過P點斜率為k的直線l交橢圓與A,B兩點，若|PA|²＋|PB|²的值僅依賴于k而與m無關(guān)，求k的值．

Answer 1

解：（1）∵·················∴橢圓C的方程為：     （2）設(shè)Q(x,y)，－5≤x≤5
∴|MQ|²＝(x－2)²＋y²＝x²－4x＋4＋16－x²＝x²－4x＋20
∵對稱軸x＝＞5∴當(dāng)x＝5時，|MQ|²達到最小值，
∴當(dāng)|MQ|最小時，Q的坐標(biāo)為(5,0)                  （3）設(shè)A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，P(m,0)(－5≤m≤5)，直線l：y＝k(x－m)
由得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝－， ························8¢
∴y₁＋y₂＝k(x₁－m)＋k(x₂－m)＝k(x₁＋x₂)－2km＝－
y₁y₂＝k²(x₁－m)(x₂－m)＝k²x₁x₂－k²m(x₁＋x₂)＋k²m²＝
∴|PA|²＋|PB|²＝(x₁－m)²＋＋(x₂－m)²＋
＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂－2a(x₁＋x₂)＋(y₁＋y₂)²－2y₁y₂－2y₁y₂＋2a²
＝(k²＋1)·
∵|PA|²＋|PB|²的值僅依賴于k而與m無關(guān)
∴512－800k²＝0∴k＝±．