Question

【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列命題正確的是 ． （填寫(xiě)所有正確命題的序號(hào)） ①若sinAsinB=2sin2C，則0＜C＜ ；
②若a+b＞2c，則0＜C＜ ；
③若a4+b4=c4 ． 則△ABC為銳角三角形；
④若（a+b）c＜2ab，則C＞

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：①若sinAsinB=2sin2C，由正弦定理可得：ab=2c2 ， 由余弦定理可得：c2= =a2+b2﹣2abcosC，整理可得：cosC= ﹣ ≥ ，
則0＜C＜ ，命題正確；
②a+b＞2ccosC= ＞ ≥ × ﹣ ≥ ＞ C＜ ，故②正確；
③∵△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a4+b4=c4 ，
∴（a2+b2）2=a4+b4 +2a2b2=c4+2a2b2 ．
∴（a2+b2）2﹣c4 =2a2b2＞0．
又 （a2+b2）2﹣c4 =（a2+b2+c2）（a2+b2﹣c2），
∴（a2+b2﹣c2）＞0．
△ABC中，由余弦定理可得 cosC= ＞0，故角C為銳角．
再由題意可得，c邊為最大邊，故角C為△ABC的最大角，
∴△ABC是銳角三角形，命題正確；
④取a=b=2，c=1，滿足（a+b）c＜2ab得：C＜ ＜ ，故④錯(cuò)誤；
所以答案是：①②③．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解正弦定理的定義(正弦定理:)，還要掌握余弦定理的定義(余弦定理:;;)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．