（2012•鐘祥市模擬）在△ABC中，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點，且3AB=2AC，若
BE
CF
＜t恒成立，則t的最小值為（　�。�
分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，要求t的最小值，即要求BE與CF比值的最大值，方法為：由AB與AC的關(guān)系，用AB表示出AC，由E、F分別為AC、AB的中點，在三角形ABE中，由AB，AE及∠A，利用余弦定理表示出BE2，在三角形ACF中，由AF，AC及∠A，利用余弦定理表示出CF2，并表示出BE與CF的平方比，開方并分離出常數(shù)，由A為三角形的內(nèi)角，得到A的范圍，觀察表示出的比值發(fā)現(xiàn)當(dāng)cosA的值最小時，比值最大，故當(dāng)A趨于π時，cosA趨于-1，此時比值最大，求出此時的最大值，即可得到t的取值范圍．
解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

∵3AB=2AC，
∴AC=
3
2
AB，
又E、F分別為AC、AB的中點，∴AE=
1
2
AC，AF=
1
2
AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE2=AB2+AE2-2AB•AE•cosA
=AB2+（
3
4
AB）2-2AB•
3
4
AB•cosA=
25
16
AB2-
3
2
AB2cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF2=AF2+AC2-2AF•AC•cosA
=（
1
2
AB）2+（
3
2
AB）2-2•
1
2
AB•
3
2
AB•cosA=
5
2
AB2-
3
2
AB2cosA，
∴
BE2
CF2
=
25
16
AB2-
3
2
AB2cosA
5
2
AB2-
3
2
AB2cosA  
=
25
16
-
3
2
cosA
5
2
-
3
2
cosA
，
∴
BE
CF
=
25
16
-
3
2
cosA
5
2
-
3
2
cosA
=
1-
15
40-24cosA
，
∵當(dāng)cosA取最小值時，
BE
CF
比值最大，
∴當(dāng)A→π時，cosA→-1，此時
BE
CF
達(dá)到最大值，最大值為
1-
15
40+24
=
7
8
，
則
BE
CF
＜t恒成立，t的最小值為
7
8
．
故選B
點評：此題考查了余弦定理，余弦函數(shù)的定義域與值域，以及不等式恒成立時滿足的條件，余弦定理建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鐘祥市模擬）設(shè)x，y滿足
3x-y-6≤0
x-y+2≥0
x+y≥3
，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（a＞0）最大值為14，則a為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鐘祥市模擬）已知
a
=(1，2)，
b
=(-3，2)，當(dāng)k
a
+
b
與
a
-3
b
平行時，k的值為
-
1
3
-
1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鐘祥市模擬）（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為
x=t-3 
y=
3
t 
(t為參數(shù))．以直角坐標(biāo)系xOy中的原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcosθ+3=0，則圓心C到直線l距離為
5
3
2
5
3
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鐘祥市模擬）已知點P為雙曲線
x2
a2
- 
y2
b2
=1（a，b＞o），被斜率為1的直線截得的弦的中點為（4，1），該雙曲線離心率是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•鐘祥市模擬）如果關(guān)于x的不等式|x-1|+|x+2|＜a的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍為
（3，+∞）
（3，+∞）
．

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