Question

若△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且a+c=1，則邊b的取值范圍是

[

1

2

，1)

．

Answer 1

分析：由題意可得B=

π

3

，A+C=

2π

3

，由余弦定理可得 b²=1-3ac，利用基本不等式求出b≥

1

2

，再由b＜a+c=1，求出邊b的取值范圍．

解答：解：若△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，則有B=

π

3

，A+C=

2π

3

．
由余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=1-3ac．
∵a+c=1≥2

ac

，∴ac≤

1

4

．
∴b²=1-3ac≥

1

4

，即b≥

1

2

．
再由b＜a+c=1，可得 

1

2

≤b＜1，故邊b的取值范圍是 [

1

2

，1)，
故答案為 [

1

2

，1)．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，解三角形，屬于中檔題．