Question

【題目】如圖所示，在直四棱柱中，，點是棱上一點.

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）試確定點的位置，使得平面平面.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）點為棱的中點時，平面平面.

【解析】

（1）由題意可知，四邊形是平行四邊形，即，再根據線面平行的判定定理，證明即可.

（2）在直四棱柱中，平面，從而，由題意可知，根據線面垂直的判定定理，證明平面，即可.

（3）取的中點，的中點，連接交于點，連接.則是的中點.由題意可知，，根據面面垂直的性質定理，可知平面，當點為棱的中點時，，平面，即可使得平面平面.

（1）因為為直四棱柱.

所以，且.

所以四邊形是平行四邊形，即.

又因為平面，平面.

所以平面.

（2）因為平面，平面，所以.

又因為，且，平面，平面

所以平面.

而平面，所以.

（3）當點為棱的中點時，平面平面.如圖，

取的中點，的中點，連接交于點，連接.

則，即是的中點.

因為是的中點，，所以.

因為在直四棱柱中

所以平面

又因為平面

所以平面平面

又平面平面，平面.

所以平面.

當點為棱的中點時

所以，且.

所以是平行四邊形，即.

所以平面.

又因為平面

所以平面平面.