Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為原點(diǎn).

（1）如圖1，點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且，求點(diǎn)到軸的距離；

（2）如圖2，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用點(diǎn)的坐標(biāo)來表示點(diǎn)的坐標(biāo)，利用以及點(diǎn)在橢圓上列方程組求解點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)到軸的距離；（2）先設(shè)點(diǎn)、，利用為平行四邊形，得到，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理與點(diǎn)在橢圓上這一條件，列相應(yīng)等式求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）由已知得、，

設(shè)，則的中點(diǎn)為，

，，即，

整理得，①，又有，②

由①②聯(lián)立解得或（舍）

點(diǎn)到軸的距離為；

（2）設(shè)，，，

四邊形是平行四邊形

線段的中點(diǎn)即為線段的中點(diǎn)，即，，

點(diǎn)在橢圓上，，

即，

化簡得，

由得，

由得，④

且，代入③式得，

整理得代入④式得，又，或，

的取值范圍是.

考點(diǎn)：1.直線與橢圓的位置關(guān)系；2.韋達(dá)定理