Question

【題目】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿足 ．
（1）計(jì)算a1 ， a2 ， a3的值，并猜想{an}的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)， ，

得a1=1； ，得a2=2，

，得a3=3，

猜想an=n

（2）解：證明：（�。┊�(dāng)n=1時(shí)，顯然成立，

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak=k，

則當(dāng)n=k+1時(shí)， = ，

整理得： ，即[ak+1﹣（k+1）][ak+1+（k﹣1）]=0，

結(jié)合an＞0，解得ak+1=k+1，

于是對(duì)于一切的自然數(shù)n∈N*，都有an=n

【解析】（1）利用遞推關(guān)系式求解數(shù)列a1 ， a2 ， a3的值，猜想{an}的通項(xiàng)公式；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，逐步證明即可．
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)學(xué)歸納法的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．