Question

證明不等式：
（1）設(shè)a＞0，b＞0，求證：a⁵+b⁵≥a³ b²+a² b³
（2）已知a≥1，求證：

a+1

-

a

＜

a

-

a-1

（3）已知a，b，c＞0，求證：

a2b2+b2c2+c2a2

a+b+c

≥abc．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,分析法,綜合法

分析：（1）利用作差比較法進(jìn)行證明；
（2）利用分析法進(jìn)行證明；
（3）利用綜合法進(jìn)行證明．

解答： 證明：（1）∵a＞0，b＞0，
∴a⁵+b⁵-a³ b²-a² b³
=（a+b）（a-b）²（a²+ab+b²）≥0
∴a⁵+b⁵≥a³ b²+a² b³…（5分）
（2）證明：要證原不等式成立，
只需證  

a+1

+

a-1

＜2

a

只需證  2a+2

a2-1

＜4a
即證

a2-1

＜a
只需證 a²-1＜a²
即證-1＜0，而-1＜0成立
因此，原不等式成立．…（5分）
（3）證明：因為 b²+c²≥2bc，a²＞0，所以 a²（b²+c²）≥2 a²bc．（1）
同理  b²（c²+a²）≥2 b²ac．（2）c²（a²+b²）≥2 c²ab．（3）
（1）、（2）、（3）相加得，2（ a² b²+b² c²+c² a²）≥2 a²bc+2 b²ac+2 c²ab，
從而 a² b²+b² c²+c² a²≥abc（a+b+c）．
由a，b，c＞0，得a+b+c＞0，于是原不等式成立．…（5分）

點評：本題考查不等式的證明，考查分析法、綜合法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．