Question

已知定點(diǎn)C（-1，0）及橢圓x²+3y²=5，過點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，
（1）若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線AB的方程；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），
將y=k（x+1）代入，
消去y整理得， 
設(shè)，
則
由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，得，
解得，適合①，
所以直線AB的方程為或；
（2）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M（m，0），使為常數(shù)，
（�。┊�(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，由（1）知，， ③
所以
，
將③代入，整理得

，
注意到是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，從而有，
此時(shí)；
（ⅱ）當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，
當(dāng)時(shí)，亦有；
綜上，在x軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)。