Question

已知函數(shù)f（x）=cos（

π

3

+x）cos（

π

3

-x），g（x）=

1

2

sin2x-

1

4

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[

19π

24

，π]時(shí)，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正弦,兩角和與差的余弦函數(shù),三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=

1

2

cos2x-

1

4

，即可求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）先求解析式h（x）=

2

2

cos(2x+

π

4

)，由x∈[

19π

24

，π]，可得

11π

6

≤2x+

π

4

≤

9π

4

，可求

2

2

≤cos(2x+

π

4

)≤1，從而可求最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos（

π

3

+x）cos（

π

3

-x）
=（

1

2

cosx-

3

2

sinx）（

1

2

cosx+

3

2

sinx）
=

1

4

cos²x-

3

4

sin²x
=

1+cos2x

8

-

3-3cos2x

8

=

1

2

cos2x-

1

4

，…4分
函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

2

=π…5分
（Ⅱ）h（x）=f（x）-g（x）=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x=

2

2

cos(2x+

π

4

)，…6分
∵x∈[

19π

24

，π]，
∴

11π

6

≤2x+

π

4

≤

9π

4

，
∴

2

2

≤cos(2x+

π

4

)≤1，…8分
∴

1

2

≤

2

2

cos(2x+

π

4

)≤

2

2

，
∴函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的最大值為

1

2

，最小值為

2

2

…10分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二倍角的正弦公式、兩角和與差的余弦函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．