Question

某公司為了公司周年慶典，現(xiàn)將公司門前廣場進(jìn)行裝飾，廣場上有一垂直于地面的墻面AB高為8+8

3

m，一個垂直于地面的可移動柱子CD高為8m，現(xiàn)用燈帶對它們進(jìn)行裝飾，有兩種方法：
（1）如圖1，設(shè)柱子CD與墻面AB相距1m，在AB上取一點(diǎn)E，以C為支點(diǎn)將燈帶拉直并固定在地面F處，形成一個直線型的燈帶（圖1中虛線所示）．則BE多長時燈帶最短？
（2）如圖2，設(shè)柱子CD與墻面AB相距8m，在AB上取一點(diǎn)E，以C為支點(diǎn)將燈帶拉直并固定在地面F處，再將燈帶拉直依次固定在D處、B處和E處，形成一個三角形型的燈帶（圖2中虛線所示）．則BE多長時燈帶最短？

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實際應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）過C作CM⊥AB于點(diǎn)M，在△CFD中和△CME中，分別用θ表示出CF和CE，即可列出l與θ的關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可求得答案；
（2）求出燈帶長L，求導(dǎo)數(shù)，即可求得答案．

解答： 解：（1））設(shè)∠EFD=θ，EF=l，
過C作CM⊥AB于點(diǎn)M，在△CFD中，CF=

8

sinθ

，在△CME中，CE=

1

cosθ

，
∴l(xiāng)=

8

sinθ

+

1

cosθ

，θ∈（0，α]，其中α是銳角且tanα=8

3

．
∴l(xiāng)′=-

8cosθ

sin2θ

+

sinθ

cos2θ

=0，可得tanθ=2
此時BE=10米時，鋼絲繩最短；
（2）在△CFD中，CF=

8

sinθ

，F(xiàn)D=

8

tanθ

，在△CME中，CE=

8

cosθ

，EM=8tanθ
∴燈帶長L=

8

sinθ

+

8

cosθ

+

8

tanθ

+8tanθ+16，θ∈（0，α]，其中α是銳角且tanα=8

3

．
∴L′=0，可得tanθ=1
此時BE=16米時，鋼絲繩最短．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用，關(guān)鍵是尋找到合適的變量建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)的相關(guān)知識求解函數(shù)的最值．本題主要是應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最值的通法．屬于中檔題．