Question

【題目】如圖，一塊弓形余布料EMF，點(diǎn)M為弧的中點(diǎn)，其所在圓O的半徑為4 dm（圓心O在弓形EMF內(nèi)），∠EOF=．將弓形余布料裁剪成盡可能大的矩形ABCD(不計(jì)損耗)， AD∥EF，且點(diǎn)A、D在弧上，設(shè)∠AOD=．

（1）求矩形ABCD的面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)矩形ABCD的面積最大時(shí)，求cos的值．

Answer 1

【答案】(1) (2) cosθ＝

【解析】試題分析： 分類討論，求出,可得矩形的面積與關(guān)于的函數(shù)解析式。

求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求的值。

解析：(1) 設(shè)矩形鐵片的面積為S，∠AOM＝θ.

當(dāng)0＜θ＜ 時(shí)(如圖1)，AB＝4cosθ＋2，AD＝2×4sinθ，

S＝AB×AD＝ (4cosθ＋2)(2×4sinθ)＝16sinθ(2cosθ＋1)．

當(dāng)≤θ＜時(shí)(如圖2)，AB＝2×4cos θ，AD＝2×4sin θ，

故S＝AB×AD＝64sinθcosθ＝32sin 2θ.

綜上得，矩形鐵片的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為

(2) 當(dāng)0＜θ＜時(shí)，求導(dǎo)，得S′＝16[cosθ(2cosθ＋1)＋sinθ(－2sinθ)]

＝16(4cos2 θ＋cos θ－2)．

令S′＝0，得cosθ＝. 記區(qū)間內(nèi)余弦值等于的角為θ0(唯一存在)，

列表：

θ	(0，θ0)	θ0
S′	＋	0	－
S		極大值

又當(dāng)≤θ＜時(shí)，S＝32sin2θ是單調(diào)減函數(shù)，所以當(dāng)θ＝θ0，即cosθ＝ 時(shí)，矩形鐵片的面積最大．