Question

（本小題滿分13分）

設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn)，是過點(diǎn)與軸垂直的直線，是直線與 軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足. 當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，記點(diǎn)M的軌跡為曲線．

（Ⅰ）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）過原點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn). 是否存在，使得對任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，

兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；

當(dāng)時，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，

兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，.

（Ⅱ）故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有.

【解析】本題主要考察求曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，要求能正確理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，并能熟練運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題，對運(yùn)算能力有較高要求。

（Ⅰ）如圖1，設(shè)，，則由，

可得，，所以，.            ①

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821185759126181/SYS201207182119483412694481_DA.files/image021.png">點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動，所以.                  ②

將①式代入②式即得所求曲線的方程為.        

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821185759126181/SYS201207182119483412694481_DA.files/image024.png">，所以

當(dāng)時，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，

兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；

當(dāng)時，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，

兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，.                           

（Ⅱ）解法1：如圖2、3，，設(shè)，，則，，

直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得

.

依題意可知此方程的兩根為，，于是由韋達(dá)定理可得

，即.

因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以.

于是，.     

而等價于，

即，又，得，

故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有.

解法2：如圖2、3，，設(shè)，，則，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821185759126181/SYS201207182119483412694481_DA.files/image048.png">，兩點(diǎn)在橢圓上，所以 兩式相減可得

.                          ③             

依題意，由點(diǎn)在第一象限可知，點(diǎn)也在第一象限，且，不重合，

故. 于是由③式可得

.                              ④

又，，三點(diǎn)共線，所以，即.                

于是由④式可得.

而等價于，即，又，得，

故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有.