[番茄花園1] 已知,數(shù)列
的通項(xiàng)公式是
,前
項(xiàng)和記作
(
1,2,…),規(guī)定
.函數(shù)
在
處和每個(gè)區(qū)間
(
0,1,2,…)上有定義,且
,
(
1,2,…).當(dāng)
時(shí),
的圖像完全落在連結(jié)點(diǎn)
(
,
)與點(diǎn)
(
,
)的線段上.
(Ⅰ)求的定義域;
(Ⅱ)設(shè)的圖像與坐標(biāo)軸及直線
:
(
1,2,…)圍成的圖形面積為
, 求
及
;
(Ⅲ)若存在正整數(shù),使得
,求
的取值范圍.
[番茄花園1]21.
[番茄花園1] 解:(1)f(x)的定義域是,由于所有的
都是正數(shù),故Sn是單調(diào)遞增的.
∵
∴
的定義域是
(Ⅱ)∵ (
1,2,…)與
無(wú)關(guān).
∴ 所有的,
,
…共線,該直線過(guò)點(diǎn)
,斜率為
∴
.
當(dāng)≥2時(shí),
是一個(gè)三角形與一個(gè)梯形面積之和(如上圖所示).梯形面積是
.于是
故
(Ⅲ)解法一:結(jié)合圖像,易見(jiàn)即
≥2時(shí),
≥
,而
,即
<2時(shí),
故當(dāng)1<<2時(shí),存在正整數(shù)
,使得
解法二:假設(shè)存在正整數(shù)n,使得,則應(yīng)有
∵ ∴
∴1<
<2時(shí),存在正整數(shù)
,使得
成立.
[番茄花園1]21.
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