已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2AD，若平面PCD與平面PAB所成二面角的余弦值為
6
3
，求
PA
AD
的值．
考點：用空間向量求平面間的夾角,二面角的平面角及求法
專題：空間角,空間向量及應(yīng)用
分析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PA=t＞0，AD=1，則AB=BC=2．則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，1，0），P（0，0，t）．則
CD
=（-2，-1，0），
PD
=（0，1，-t）．求出兩個平面的法向量的夾角即可得出．
解答： 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)PA=t＞0，AD=1，則AB=BC=2．
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，1，0），P（0，0，t）．
則
CD
=（-2，-1，0），
PD
=（0，1，-t）．
設(shè)平面PCD的法向量為
m
=（x，y，z）．則
m
•
CD
=-2x-y=0
m
•
PD
=y-tz=0
，令y=2，則x=-1，z=
2
t
．
∴
m
=(-1，2，
2
t
)．
取平面PAB的法向量
n
=(0，1，0)．
∴cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
| |
n
|
=
2
1+22+(
2
t
)2
=
2
5+
4
t2
．
∴
2
5+
4
t2
=
6
3
，解得t=2．
∴
PA
AD
=2．
點評：本題考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個平面的法向量的夾角求二面角的方法，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
lim
x→4
f(x)-f(4)
x-4
=-2，則
lim
t→0
f(4-t)-f(4)
2t
=（　�。�
A、4B、-4C、1D、-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)集合A={1，2}，B={2，3，m}，若A∩B=A，則實數(shù)m=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)．當(dāng)x＜0時，f（x）=loga（x+b），圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=m有兩解，寫出m的范圍；
（Ⅲ）解不等式（x-1）•f（x）＜0，寫出解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}為各項為正數(shù)的等比數(shù)列，且a4=2，已知函數(shù)f(x)=log
1
2
x，則f(a13)+f(a23)+…+f(a73)=（　�。�
A、-6B、-21
C、-12D、21

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

半徑為2的圓中，弧長為4的弧所對的圓心角是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

“1，x，9成等比數(shù)列”是“x=3”的（　�。�
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sin（α-π）=2cos（2π-α），求
sin(π-α)+5cos(2π-α)
3cos(π-α)-sin(-α)
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1所示的等邊△ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC、BC邊的中點．現(xiàn)將△ABC沿CD折疊成如圖2所示的直二面角A-DC-B．

（1）試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求四面體A-DBC的外接球體積與四棱錐D-ABFE的體積之比．

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