Question

【題目】已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+…+b10=100．
（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=loga（1+ ），a＞0，且a≠1，記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和．試比較Sn與 logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，由題意得：b1=1，

10b1+ =100．

解得 ，

∴bn=1+2（n1﹣）=2n﹣1．

（2）解：an=loga（1+ ）= = ，a＞0，且a≠1，

Sn=loga（1+1）+ +…+

= ．

logabn+1= = ．

可先比較（1+1）（1+ ）…（1+ ）與 的大小．

取n=1，有（1+1）＞ ；

取n=2，有（1+1）（1+ ）＞ ．

由此推測：（1+1）（1+ ）…（1+ ）＞ …①

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式：

（i）當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證①式成立．

（ii）假設(shè)當(dāng)n=k （k≥1）時(shí)，①式成立，即

（1+1）（1+ ）…（1+ ）＞ ，

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+1）（1+ ）…（1+ ）（1+ ）

＞ （1+ ）= （2k+2）

∵[ （2k+2）]2﹣[ ]2

= = ＞0，

∴ （2k+2）＞ =

因而 （1+1）（1+ ）…（1+ ）（1+ ）＞ ．

這就是說①式，當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．

由（i），（ii）知，①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立．

利用函數(shù)y=logax的單調(diào)性，得結(jié)論：

當(dāng)a＞1時(shí)，Sn＞ logabn+1；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，Sn＜ logabn+1．

或利用 = ＞ ，證明 … ＞ ，即可證明．

【解析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；（2）an=loga（1+ ）= = ，a＞0，且a≠1，Sn= ． logabn+1= ．可先比較（1+1）（1+ ）…（1+ ）與 的大�。�猜想：（1+1）（1+ ）…（1+ ）＞ ，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握通項(xiàng)公式：或；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．