Question

已知定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足?①對任意x，y∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）；?②當x＞1時，f（x）＞0且f（2）=1
（1）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，0）∪（0，-4]上的最大值．
（3）求不等式f（3x-2）+f（x）≥4的解集．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）先令x=y=a，則f（a²）=2f（a），再令x=y=-a，則f（a²）=2f（-a），進而可得f（a）=f（-a），由函數(shù)奇偶性的定義，可得答案；
（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而結(jié)合f（xy）=f（x）+f（y）且f（2）=1可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，0）∪（0，-4]上的最大值．
（3）不等式f（3x-2）+f（x）≥4可化為|（3x-2）x|≥16，即（3x-2）x≥16，或（3x-2）x≤-16，解得答案．

解答： 證明：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）；
令x=y=a，則f（a²）=f（a）+f（a）=2f（a），
令x=y=-a，則f（a²）=f（-a）+f（-a）=2f（-a），
即f（a）=f（-a），
故函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
（2）任取0＜x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵f（xy）=f（x）+f（y）；
∴f（xy）-f（x）=f（y）；
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）
∵

x2

x1

＞1，x＞1時，f（x）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0，
得到f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)．
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，-4]上的最大值為f（4）=f（2）+f（2）=2，
又由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，0）上的最大值也為2，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，0）∪（0，-4]上的最大值為2；
（3）由（2）得f（4）=2，則f（16）=f（6）+f（6）=4，
故不等式f（3x-2）+f（x）≥4可化為：
f[（3x-2）x]≥f（16），
由（2）中結(jié)論可得：
|（3x-2）x|≥16，
即（3x-2）x≥16，或（3x-2）x≤-16，
解得：x≤-2，或x≥

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點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，抽象函數(shù)，是函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用，難度中檔．