Question

兩家共同擁有一塊土地ABC，形狀是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=am，如果兩家人準(zhǔn)備劃分一條分割線（直線段），使兩家所得土地相等，其中P，Q分別在線段AB，AC上．
（Ⅰ）如果準(zhǔn)備在分割線上建造一堵墻，請(qǐng)問(wèn)如何劃分割線，才能使造墻費(fèi)用最少；
（Ⅱ）如果準(zhǔn)備在分割線上栽種同一種果樹(shù)，請(qǐng)問(wèn)如何劃分割線，才能使果樹(shù)的產(chǎn)量最大．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要使造墻費(fèi)用最少，即使PQ最短，利用分割后得面積相等，尋找等量關(guān)系，再利用基本不等式求PQ的最小值；
（Ⅱ）要使果樹(shù)的產(chǎn)量最大，即使PQ最長(zhǎng)，利用分割后得面積相等，尋找等量關(guān)系，再利用函數(shù)的單調(diào)性求PQ的最大值
解答：解：設(shè)AQ=x，AP=y，，
又，∴．
PQ=．
（Ⅰ）∵，
∴，此時(shí)x=y，又．
即取AP=AQ=m時(shí)，PQ的長(zhǎng)最短，因而造墻費(fèi)用最少．（6分）
（Ⅱ）∵，∴，
∴．
考察函數(shù)，得當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減，所以函數(shù)的最大值，此時(shí)．
故當(dāng)P取在B點(diǎn)，Q取在AC的中點(diǎn)處時(shí)，PQ最長(zhǎng)，因而果樹(shù)的產(chǎn)量最大．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的建立及最值的求解，正確理解題意，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．