Question

已知函數(shù)f(x)=

3x-1

3x+1

．
（1）證明f（x）為奇函數(shù)        
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析：（1）先求得函數(shù)定義域，然后利用奇函數(shù)的定義即可證明；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，利用作差判斷f（x₂）與f（x₁）的大小，根據(jù)單調(diào)性的定義可作出判斷；

解答：（1）證明：由題意知f（x）的定義域?yàn)镽，
又f（-x）=

3-x-1

3-x+1

=

1-3x 3x

1+3x 3x

=

1-3x

1+3x

=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）解：f（x）在定義域上是單調(diào)增函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=

3x2-1

3x2+1

-

3x1-1

3x1+1

=（1-

2

3x2+1

）-（1-

2

3x1+1

）
=

2(3x2-3x1)

(3x2+1)(3x1+1)

，
∵x₁0，3x2+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類題目的基本方法，要熟練掌握．