已知函數(shù)，（其中，），且函數(shù)的圖象在點處的切線與函數(shù)的圖象在點處的切線重合．

（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；

（Ⅱ）若，滿足，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若，試探究與的大小，并說明你的理由．

 

【答案】

（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求出在點處切線方程為，再求出在點處切線方程為，比較兩方程的系數(shù)即可得，；（Ⅱ）根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化成在上有解，令，只需，分類討論可求得實數(shù)m的取值范圍是；

（Ⅲ）令，再證函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，恒成立，即可得對任意，有，再證即可得證.

試題解析：（Ⅰ）∵，∴，則在點處切線的斜率，切點，則在點處切線方程為，

又，∴，則在點處切線的斜率，切點，則在點處切線方程為，

由解得，．    4分

（Ⅱ）由得，故在上有解，

令，只需．      6分

①當時，，所以；    7分

②當時，∵，

∵，∴，，∴，

故，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以，此時．

綜合①②得實數(shù)m的取值范圍是．   9分

（Ⅲ）令，．

令，則在上恒成立，

∴當時，成立，∴在上恒成立，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當時，恒成立，

故對于任意，有．   12分

又∵，

∴．

∴，從而．… 14分 

考點：1.導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用；2.存在性問題.

 

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=·,其中=(sinωx+cosωx,cosωx), =(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω＞0).若f(x)相鄰兩對稱軸間的距離不小于.

(1)求ω的取值范圍；

(2)在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，a=,b+c=3(b＞c)，當ω最大時，f(A)=1,求邊b,c的長.

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已知,函數(shù)，，(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)),

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）是否存在實數(shù)，使得的最小值為3. 若存在，求出的值，若不存在，說明理由。

 

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（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，.（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），

（Ⅰ）設曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）若對于任意實數(shù)≥0，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當時，是否存在實數(shù)，使曲線C：在點

處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年天津市高三十校聯(lián)考理科數(shù)學 題型：解答題

．（14分）已知函數(shù)，，其中

（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值

（Ⅱ）若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實數(shù)的取值范圍

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆云南省高一期末考試數(shù)學試卷 題型：解答題

已知函數(shù)，（其中）的周期為π，且圖象上一個最低點為。

 (1)求的解析式；

(2)當時，求的最值

 

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