Question

【題目】已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足， ，其中，則稱為的“陪伴數(shù)列”.

（Ⅰ）寫出數(shù)列的“陪伴數(shù)列”；

（Ⅱ）若的“陪伴數(shù)列”是.試證明： 成等差數(shù)列.

（Ⅲ）若為偶數(shù)，且的“陪伴數(shù)列”是，證明： .

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由“陪伴數(shù)列”的定義易得： .

（Ⅱ）證明：對(duì)于數(shù)列及其“陪伴數(shù)列”，

因?yàn)?，

，

，

……

，

將上述幾個(gè)等式中的第這4個(gè)式子都乘以，相加得即可證明.

（Ⅲ）證明： 因?yàn)?，

，

，

……

，

由于為偶數(shù)，將上述個(gè)等式中的第這個(gè)式子都乘以，相加即可證明

試題解析：（Ⅰ）解： .

（Ⅱ）證明：對(duì)于數(shù)列及其“陪伴數(shù)列”，

因?yàn)?，

，

，

……

，

將上述幾個(gè)等式中的第這4個(gè)式子都乘以，

相加得

即

故

所以成等差數(shù)列.

（Ⅲ）證明： 因?yàn)?，

，

，

……

，

由于為偶數(shù)，將上述個(gè)等式中的第這個(gè)式子都乘以，相加得

即， .