Question

已知離心率為

3

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞o）過點M（2，1），O為坐標原點，平行于OM的直線l交橢圓于C不同的兩點A，B．
（1）求橢圓的C方程．
（2）證明：若直線MA，MB的斜率分別為k₁、k₂，求證：k₁+k₂=0．

Answer 1

分析：（1）由給出的橢圓的離心率、橢圓過定點M（2，1）及隱含條件a²=b²+c²列方程組可求a²，b²，則橢圓方程可求；
（2）設出直線l的方程，設出A，B兩點的坐標，把直線和橢圓聯(lián)立后可求A，B兩點的橫坐標的和與積，把直線MA，MB的斜率k₁、k₂分別用A，B兩點的坐標表示，把縱坐標轉(zhuǎn)化為橫坐標后，則k₁+k₂僅含A，B兩點的橫坐標的和與積，化簡整理即可得到結論．

解答：（1）解：設橢圓C的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由題意得：

c a = 3 2              ① a2=b2+c2   ② 4 a2 + 1 b2 =1      ③

，
把①代入②得：a²=4b²④．
聯(lián)立③④得：a²=8，b²=2．
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）證明：∵M（2，1），∴kOM=

1

2

又∵直線l∥OM，可設l：y=

1

2

x+m，將式子代入橢圓C得：x2+4(

1

2

x+m)2-8=0，
整理得：x²+2mx+2m²-4=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4．
設直線MA、MB的斜率分別為k₁、k₂，則k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

．
下面只需證明：k₁+k₂=0，
事實上，k1+k2=

1 2 x1+m-1

x1-2

+

1 2 x2+m-1

x2-2

=

1 2 (x1-2)+m

x1-2

+

1 2 (x2-2)+m

x2-2

=1+m(

1

x1-2

+

1

x2-2

)
=1+m•

x1+x2-4

x1x2-2(x1+x2)+4

=1+m•

-2m-4

2m2-4-2(-2m)+4

=1-

2m2+4m

2m2+4m

=0．

點評：本題考查了橢圓標準方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關系，考查了數(shù)形結合的解題思想，解答此類問題的關鍵是，常常采用設而不求的方法，即設出直線與圓錐曲線交點的坐標，解答時不求坐標，而是運用根與系數(shù)關系求出兩個點的橫坐標的和與積，然后結合已知條件整體代入求解問題，此題是難題．