已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx-3在x=1處取得極值,且在(0,-3)點(diǎn)處的切線與直線2x+y=0平行.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函數(shù)g(x)=xf(x)+4x的單調(diào)遞增區(qū)間.
分析:(1)先對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),令f'(1)=0,f'(0)=-2即可得到答案.
(2)將函數(shù)f(x)的解析式代入求出函數(shù)g(x)的解析式后求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍即可.
解答:解:(Ⅰ)由f(x)=ax2+bx-3,可得f′(x)=2ax+b.
由題設(shè)可得
f(1)=0
f(0)=-2.
2a+b=0
b=-2.

解得a=1,b=-2.
所以f(x)=x2-2x-3.
(Ⅱ)由題意得g(x)=xf(x)+4x=x3-2x2+x,
所以g′(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1).
令g′(x)=0,得x1=
1
3
,x2=1.精英家教網(wǎng)
所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,
1
3
)
,(1,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況和原函數(shù)的增減性的關(guān)系.屬基礎(chǔ)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),且滿足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長度為12-t?請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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