Question

求下列函數的值域：（1）y=-x²+x，x∈[1，3]；  （2）y=

x+1

x-1

；   （3）y=x-

1-2x

．

Answer 1

分析：（1）求y=-x²+x，x∈[1，3]的值域，對解析式進行配方，再作出判斷； 
（2）y=

x+1

x-1

；用分離變量法對解析式變形，再判斷其值域；
（3）求y=x-

1-2x

值域可以用換元法．

解答：解：（1）由y=-x²+x?y=

1

4

-(x-

1

2

)2，
∵1≤x≤3，
∴-6≤y≤0．
故值域是[-6，0]
（2）可采用分離變量法.y=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，
∵

2

x-1

≠0，
∴y≠1
∴值域為{y|y≠1且y∈R．}
（3）令u=

1-2x

（u≥0），則x=-

1

2

u2+

1

2

，y=-

1

2

u2-u+

1

2

=-

1

2

(u+1)2+1，
當u≥0時，y≤

1

2

，
∴函數y=x-

1-2x

的值域為(-∞，

1

2

]．

點評：本題考查求函數的值域，解答題本題關鍵是掌握住本題中所涉及的函數應采取的求值域的方法，本題中分別用了配方法，分離變量法，換元法，題后應總結一下此三種方法在解題過程中適用的范圍，理解在什么情況下應該用什么樣的技巧求解．